W wielu przypadkach funkcja, którą badamy, „nieznacznie” różni się od pewnej funkcji \( f \) o znanym wykresie. Wówczas możemy narysować jej wykres, stosując odpowiednie przekształcenie znanego wykresu funkcji \( f \).
Uwaga 1: Przekształcanie wykresów funkcji
Zakładamy, że znamy wykres \( f: \mathbb R\supset D_f\to\mathbb R \), \( f:x \mapsto f(x) \).
Aby otrzymać wykres funkcji \( g:x\mapsto f(x)+a, a\in\mathbb R \) dokonujemy translacji wykresu funkcji \( f \) o wektor \( {\vec {v}}= [0,a] \).
Wykres funkcji \( h: x\mapsto f(x+a), a\in\mathbb R \) otrzymujemy poprzez translację wykresu funkcji \( f \) o wektor \( {\vec {v}}= [-a,0] \).
Funkcję \( k:x\to \vert f(x)\vert \) rysujemy odbijając symetrycznie względem osi \( 0{\vec {x}} \) część wykresu funkcji \( f \) leżącą pod tą osią i pozostawiając resztę wykresu funkcji \( f \) bez zmian.
Natomiast wykres funkcji \( l:x\mapsto f(\vert x\vert ) \) powstanie poprzez „zignorowanie” części wykresu leżącej po lewej stronie osi \( 0{\vec {y}} \) i umieszczenie tam odbitej symetrycznie względem tej osi części wykresu dla \( x\ge 0 \) (o ile wyjściowa funkcja \( f \) była określona dla \( x\le 0 \)).
Wykres funkcji \( m:x\mapsto -f(x) \) powstaje poprzez odbicie symetryczne wykresu funkcji \( f \) względem osi \( 0x \).
Przykład 1: Przekształcanie wykresów funkcji
Naszkicujemy wykres funkcji \( f:\mathbb R\ni x\mapsto 2^{x+3} \),
Rozwiązanie
Rysujemy znany wykres funkcji wykładniczej \( x\mapsto 2^x \) o podstawie 2 (większej od 1), zaznaczając na nim przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne, a mianowicie \( P_1=(0,1), P_2=(1,2) \).
Rysunek 1: Wykres funkcji wykładniczej \( x\mapsto 2^x \)
Następnie przesuwamy ten wykres „w poziomie do tyłu” o wektor \( {\vec v}=[-3,0] \) otrzymując wykres \( f \) (naszkicowany na czerwono).
Rysunek 2: Translacja wykresu funkcji \( x\mapsto 2^x \) o wektor \( {\vec v}=[-3,0] \)
Naszkicujemy wykres funkcji \( g:\mathbb R
\ni x\mapsto\left({1\over 3}\right)^{x-1}+2 \).
Rozwiązanie:
Aby naszkicować wykres \( g \), wychodzimy od znanego wykresu funkcji wykładniczej \( x\mapsto\left({1\over 3}\right)^x \) o podstawie ułamkowej z przedziału \( (0,1) \), na którym również zaznaczamy przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne.
Rysunek 3: Wykres funkcji wykładniczej \( x\mapsto\left({1\over 3}\right)^x \)
W następnym kroku przesuwamy ten wykres „w poziomie do przodu” o wektor \( \vec {v}=[1,0] \) otrzymując wykres funkcji \( x\to\left({1\over 3}\right)^{x-1} \) (naszkicowany na zielono) i na koniec dokonujemy translacji pomocniczego wykresu (zielonego) otrzymując wykres funkcji \( g \) (czerwony).
Rysunek 4: Translacje wykresu funkcji \( x\mapsto\left({1\over 3}\right)^x \) kolejno o wektory \( \vec {v}=[1,0] \) oraz \( \vec {w}=[0,2] \)
Zauważmy, że wykres funkcji \( g \) mogliśmy otrzymać szybciej przesuwając wykres pomocniczy od razu o wektor \( {\vec u}={\vec v}+{\vec w} \) czyli \( {\vec u}=[1,2] \).
Naszkicujemy wykres funkcji \( h:\mathbb R^+
\ni x\mapsto 1-\vert\log_3(x)\vert \).
Rozwiązanie:
Aby naszkicować wykres funkcji \( h:\mathbb R^+
\ni x\mapsto 1-\vert\log_3(x)\vert \), szkicujemy znany wykres funkcji logarytmicznej o podstawie 3 (większej od 1) zaznaczając jego punkty charakterystyczne.
Rysunek 5: Wykres funkcji logarytmicznej \( x\mapsto \log_3x \)
Tę część wykresu \( x\mapsto \log_3x \), gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne („leżącą pod osią \( 0{\vec x} \)”) przekształcamy poprzez symetrię względem \( 0{\vec x} \) a resztę pozostawiamy bez zmian, otrzymując wykres funkcji \( x\mapsto\vert\log_3x\vert \).
Rysunek 6: Transformacja wykresu funkcji \( x\mapsto \log_3x \) w wykres funkcji \( x\mapsto\vert\log_3x\vert \)
Aby otrzymać wykres \( x\mapsto-\vert\log_3x\vert \)
przekształcamy przez symetrię osiowa względem \( 0{\vec x} \) wykres \( x\mapsto\vert\log_3x\vert \).
Rysunek 7: Wykres funkcji \( x\mapsto-\vert\log_3x\vert \)
Na koniec przesuwamy całość o wektor \( {\vec w}=[0,1] \) otrzymując wykres funkcji \( h \).
Rysunek 8: Wykres funkcji \( x\mapsto -\vert\log_3(x)+1\vert \)
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Przypominanie hasła
Moduł został dodany
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
